コメントありがとうございます。
お礼が遅くなりすみません。

確かに植え替えてから3〜4年経っています。植木鉢の縁から芽が何本か出ているのも、鉢の中が根でパンパンになっているからかもしれません。
アドバイス通り植え替えてみます。

ありがとうございました。

こんにちは！
お写真を見ると、花も茶色くなっているので「水切れ」の可能性の方が高いかなと思いました。鉢植えで育てていらしゃるとのことですが、植え替えたのは最近でしょうか。鉢植えは、数年に一度、植え替える必要があります。もし植え替えて2～3年が経過しているようなら、鉢の中はアナベルの根でいっぱいで土の量が少ないのかもしれません。鉢の中の水が少ないと、水やりしてもほとんど土が保水できないため、水切れが早くなり、花や葉が茶色くなったりの現象を起こします。
もし最近鉢替えしていないなら、一回り大きな鉢に植え替えるとよいのではないでしょうか。本来の植え替え時期は落葉期の方が根のストレスがないですが、真夏より前のこの時期に水切れを起こすようなら、今植え替えて土を増やした方がよいかもしれません。根をいじらず、そっと行えば大丈夫です。
アナベルの花は白から秋にかけて緑になるのも魅力ですが、茶色くなってしまったものが復活することはないので、早めに切り取ったほうがよいと思います。